「伝統空手　「運足」の技・テクニックのコツ・ポイント　1」のまとめです。

後ろ足に力を入れて床を蹴ると腰が安定せず重心が上下動してしまうことがあります。
逆に後ろ足を「抜く」感じに前足の横まで「引き寄せる」感覚で行うといいかも知れません。
この時、腰の位置は動かさないようにすることがコツです。
そして、引き寄せたら今度は腰を前へ押し出しつつそれに合わせて足を踏み出します。

大事なのは腰（体幹）で動作を行うことです。
まずは後ろ足を素早く前足の位置まで引き寄せる稽古をしてみてはいかがでしょうか？

物理的な速さなのか、
相手に予備動作をさとられないことを重視するかで方針がちがうわけですが
生まれ持ったバネの素質で勝負しない、加齢の影響を受けにくいなどの理由で
後者のほうが修行しがいがあるようには思いますね。

予備動作、つまり床を蹴るようにすると相手にはよくわかるわけで
膝を抜いて重力を借りて動くとたとえゆっくりめであっても相手は反応できないということはあります。

坂道を下る方向で移動稽古するといいですよ。

一般的には、移動する時は膝の力を抜いて、前脚と後ろ脚が交差する瞬間に力を入れるのがコツです。しかし、ただ力を抜けば当然倒れますから力を抜けばいいってもんでもありません。
レベルに応じたコツがあると思います。
心のうちは意識して力強く、早く脚を動かすのも正解かも知れません。